Question

15．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个．

（1）根据题意，完成以下表格：
（2）按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？
（3）如果做一个竖式纸盒的费用为2元，做一个横式纸盒的费用为1元，如何安排设计方案，使得生产费用最少？

	竖式纸盒（个）	横式纸盒（个）
	x	100-x
正方形纸板（张）	x	2（100-x）
长方形纸板（张）	4x	3（100-x）

Answer 1

分析 （1）根据题意和图形的含义可以直接表示出两种不同的纸盒需要的正方形纸板和长方形纸板的数量；
（2）根据（1）统计表的数据及题意反应的不等量关系建立不等式组就可以求出结论；
（3）设生产费用为y元，根据两种纸盒的总利润之和为y建立式子就可以表述出y与x之间的函数关系式，由一次函数的解析式的性质就可以求出结论．

解答 解：（1）由题意，得

纸盒 纸板	竖式纸盒（个）	横式纸盒（个）
	x	100-x
正方形纸板（张）	x	2（100-x）
长方形纸板（张）	4x	3（100-x）

（2）由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{x+2（100-x）≤162}\\{4x+3（100-x）≤340}\end{array}\right.$，
解得：38≤x≤40．
∵x为整数，
∴x=38，39，40．
∴有三种生产方案：
方案1，竖式纸盒生产38个，横式纸盒生产62个，
方案2，竖式纸盒生产39个，横式纸盒生产61个，
方案3，竖式纸盒生产40个，横式纸盒生产60个，

（3）设生产费用为y元，由题意，得
y=2x+（100-x），
y=x+100．
∵k=1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=38时，y_最小=138，
∴选择方案1生产费最小，最小费用是138元．

点评 本题考查了列一元一次不等式组解方案设计题型的运用，销售问题利润=每个利润×数量的运用，一次函数的性质的运用，解答时分析条件的不等量关系建立不等式是重点，根据一次函数的性质求最值是常用的方法．