Question

14．正方形纸片ABCD的对称中心为O，翻折∠A使顶点A重合于对角线AC上一点P，EF是折痕：
（1）证明：AE=AF；
（2）尺规作图：在图中作出当点P是OC中点时的△EFP（不写画法，保留作图痕迹）；完成作图后，标注所作△EFP的外接圆心M．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据线段垂直平分线的做法进行作图即可．

解答 （1）证明：设AP交EF于点Q，如图：

∵P是A的对称点，
∴AP⊥EF，
∵点P在AC上，
∴∠EAQ=∠FAQ=45°
在△AEQ和△AFQ中：
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAQ=∠FAQ}\\{AQ=AQ}\\{∠AQE=∠AQF=90°}\end{array}\right.$，
∴△AEQ≌△AFQ（ASA）
∴AE=AF．
（2）尺规作图如图：

第一步：OC中点P
作AP垂直平分线EF、或PE、PF用角平分线、或过P作垂直线等方法获得△EFP；
△EFP的外接圆心M的位置是EF与AC的交点．

点评 此题考查了正方形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定和性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．