Question

13．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以3，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：

则第n次的运算结果是y_n=$\frac{{3}^{n}x}{（1+3+{3}^{2}+…+{3}^{n-1}）x+1}$．（用含字母x和n的代数式表示）．

Answer 1

分析 将y₁代入y₂计算表示出y₂，将y₂代入y₃计算表示出y₃，归纳总结得到一般性规律即可得到结果．

解答 解：将y₁=$\frac{3x}{x+1}$代入得：y₂=$\frac{3×\frac{3x}{x+1}}{\frac{3x}{x+1}+1}$=$\frac{{3}^{2}x}{4x+1}$；
将y₂=$\frac{{3}^{2}x}{4x+1}$代入得：y₃=$\frac{3×\frac{{3}^{2}x}{4x+1}}{\frac{{3}^{2}x}{4x+1}+1}$=$\frac{{3}^{3}x}{13x+1}$，
依此类推，第n次运算的结果y_n=$\frac{{3}^{n}x}{（1+3+{3}^{2}+…+{3}^{n-1}）x+1}$．
故答案为：y_n=$\frac{{3}^{n}x}{（1+3+{3}^{2}+…+{3}^{n-1}）x+1}$=$\frac{{3}^{n}x}{\frac{{3}^{n}-1}{2}x+1}$．

点评 此题考查数字的变化规律，从特殊到一般找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．