Question

19．2015年 4月18日潍坊国际风筝节拉开了帷幕，这天小敏同学正在公园广场上放风筝，如图风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小亮同学，发现自己的位置与风筝和广场边旗杆PQ的顶点P在同一直线上．
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；
（2）在（1）的条件下，若在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，绳子在空中视为一条线段，求绳子AC为多少米？（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形在直角三角形△BPQ中求出AQ的长度，然后求出AB=BQ+AQ；
（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，求出AE的长度，然后在△CAE中求出AC的长度．

解答 解：（1）在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，
则BQ=tan60°×PQ=$10\sqrt{3}$，
又在Rt△APQ中，∠PAB=45°，
则AQ=tan45°×PQ=10，
即：AB=（$10\sqrt{3}$+10）（米），
（2）过A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=$10\sqrt{3}$+10，
∴AE=sin30°×AB=$\frac{1}{2}$（$10\sqrt{3}$+10）=5$\sqrt{3}$+5，
∵∠CAD=75°，∠B=30°∴∠C=45°，
在Rt△CAE中，sin45°=$\frac{AE}{AC}$，
∴AC=$\sqrt{2}$（5$\sqrt{3}$+5）=（5$\sqrt{6}$+5$\sqrt{2}$）（米）．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是结合图形构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．