Question

1．如图①，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=6，CD=3，BC=$\sqrt{3}$．△EFG是边长为3的等边三角形，且与梯形ABCD位于直线AB同侧，点E与点A重合，EF与AB在同一直线上．△EFG以每秒1个单位的速度沿直线AB向右平移，当点E与点B重合时运动停止．设△EFG的运动时间为t（秒）．
（1）当△EFG的边EG经过点D时，求t的值；
（2）在平移过程中，设△EFG与梯形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及其对应的自变量t的取值范围；
（3）如图②，当△EFG的平移运动停止后（此时点B与点E重合），将△EFG绕点F进行旋转，在旋转过程中，设EG所在直线与射线AD相交于点M，与射线FB相交于点N，当△AMN为等腰三角形时，求AN的长度．

Answer 1

分析 （1）过点D作DG⊥AB于点，构造矩形和直角三角形，求出AH，利用三角函数求出∠A=30°，由△EFG是边长为3的等边三角形，得到∠ADE=90°，∠EDH=30°
，运用三角函数求出HE，进而得到AE，求出t的值；
（2）分四段：当0≤t＜3时；当3≤t＜4时；当4≤t＜5时；当5≤t≤6时；进行分别计算即可；
（3）分类讨论：当AM=MN时；当AM=AN时；当AN=MN时．

解答 解：（1）当EG经过点D时，如图1所示，过点D作DG⊥AB于
则在矩形BCDH中，BC=DH=$\sqrt{3}$，CD=BH=3，
∵AB=6，
∴AH=3，
∴tanA=$\frac{DH}{AH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴∠A=30°
∵△EFG是边长为3的等边三角形，
∴∠GEF=∠GFE=∠G=60°，EF=EG=FG=3，
∴∠ADE=90°，∠EDH=30°，
∴HE=tan30°×DH=1，
∴AE=AH+HE=3+1=4
即t=4；
（2）①如图2所示，当0≤t＜3时，AE=t，HE=$\frac{t}{2}$，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t
∴S=S_△AHE=$\frac{1}{2}$•AH•HE=$\frac{1}{2}$×$\frac{t}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²，
②如图3所示，当3≤t＜4时，AE=t，DE=$\frac{t}{2}$，MG=3-$\frac{t}{2}$；
∴MN=$\sqrt{3}$MG=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S=S_△GEF-S_△MGN
=$\frac{1}{2}$EF²•cos30°-$\frac{1}{2}$•MN•MG
=-$\frac{\sqrt{3}}{8}{t}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{7\sqrt{3}}{4}$
③如图4所示，当4≤t＜5时，GH=1，ME=$\frac{t}{2}$，MG=3-$\frac{t}{2}$，MH=$\frac{t}{2}$-2，MN=$\sqrt{3}$MG，DH=$\sqrt{3}$MN，
∴S=S_△GEF-S_△MGN-S△DMH
=$\frac{1}{2}$EF²•cos30°-$\frac{1}{2}$•MN•MG-$\frac{1}{2}$•DH•MN
=-$\frac{\sqrt{3}}{8}{t}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{7\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{t}{2}$-2）²
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{2}t-\frac{17\sqrt{3}}{4}$；
④如图5所示，当5≤t≤6时，MN=1
∴S=S_△GEF-S_△MGN
=$\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
=2$\sqrt{3}$；
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{8}{t}^{2}（0≤t＜3）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{8}{t}^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}t-\frac{9\sqrt{3}}{4}（3≤t＜4）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}t-\frac{17\sqrt{3}}{4}（4≤t＜5）}\\{2\sqrt{3}（5≤t≤6）}\end{array}\right.$
（3）如图6所示，当AM=MN时，则∠N=∠A=30°，
∵∠G=60°，
∴GF⊥AN，
∴FN=3$\sqrt{3}$，
∴AN=AF+FN=3+3$\sqrt{3}$
如图7所示，当AM=AN时，过点G作GP⊥AB交EF于点Q，
∵∠A=30°，
∴∠MNA=75°，
∴∠GFN=75°，
∵∠FGN=60°，
∴∠FGP=180°-75°-60°=45°，
∴△PFG为等腰直角三角形，
易证△EFN≌△EGQ，
∴△PQF≌△PNG，
∵△ENQ为等边三角形，FG=3
∴PF=GP=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
设PN=x，则NE=NQ=$\sqrt{2}$x
在Rt△PNG中，NG=3-x，
∴（3-$\sqrt{2}$x）²-x²=（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²，
解得：x=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
∴AN=AF+PF+PN=3+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$=3+$\frac{9\sqrt{2}}{2}-\sqrt{6}$；
如图8所示，当AN=MN时，显然此时G、N与点B重合，所以，AN=AB=6．

点评 本题需要用动态的角度来思考问题，做题时要认真分析问题，根据问题有目的性的找出已知条件，回答问题，第二小题要先确定自变量的t的取值范围，注意分段求出S与t的关系，第三小题等腰三角形存在性问题一定要分类讨论．