Question

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：
（1）四边形CFDE是矩形；
（2）四边形CFDE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据垂直定义得出∠C=∠CFD=∠DEC=90°，根据矩形的判定推出即可；
（2）根据角平分线性质求出DE=DF，根据菱形的判定推出即可．

解答 证明：（1）∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠C=90°，
∴∠C=∠CFD=∠DEC=90°，
∴四边形CFDE是矩形；

（2）如图，过D作DM⊥AB于M，

∵∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DM，DM=DF，
∴DE=DF，
∵四边形CFDE是矩形，
∴四边形CFDE是菱形．

点评 本题考查了矩形的判定，菱形的判定，角平分线性质的应用，能运用定理进行推理是解此题的关键，注意：三个角都是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，难度适中．