Question

3．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC．过点C作一条射线CE⊥AE于点E，再过点B作BD⊥CE于点D．试证明AE=BD+DE．

Answer 1

分析 由角的互余关系证出∠CBD=∠ACE，由AAS证明△ACE≌△CBD，得出对应边相等即可．

解答 证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CE⊥AE，
∴∠ACD+∠CAE=90°，∠AEC=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
∵BD⊥CE∴∠BDC=90°即∠BDC=∠AEC，
∵AC=BC，
在△ACE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CDB}\\{∠ACE=∠CBD}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBD，
∴AE=CD，CE=BD，
∴AE=CD=CE+DE=BD+DE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的性质；题目较好，证明三角形全等是解决问题的关键．