Question

如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=20，求半径CD的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据AD是△ABC的角平分线得出∠1=∠2，由三角形外角的性质可知∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，故可得出∠ADE=∠DAE，所以ED=EA，由圆周角定理得出EF⊥AD，根据等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）连接DM，设EF=4k，DF=3k，根据勾股定理得出DE的长，根据

1

2

AD•EF=

1

2

AE•DM得出DM的长，由勾股定理得出ME的长，根据cos∠AED=

ME

DE

即可得出结论；
（3）根据相似三角形的判定定理得出△AEC∽△BEA，故可得出AE：BE=CE：AE，根据k＞0得出k的值，进而得出结论．

解答：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴点F是AD的中点；

（2）解：连接DM，设EF=4k，DF=3k，则ED=

EF2+DF2

=5k，
∵

1

2

AD•EF=

1

2

AE•DM，
∴DM=

AD•EF

AE

=

6k•4k

5k

=

24k

5

，
∴ME=

DE2-DM2

=

7

5

k，
∴cos∠AED=

ME

DE

=

7

25

；

（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE=CE：AE，
∴AE²=CE•BE，即（5k）²=

5

2

k•（20+5k），
∵k＞0，
∴k=4，
∴半径CD=

5

2

k=10．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到角平分线的定义、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，难度适中．