Question

19．平面直角坐标系中，已知P₁的坐标为（1，0），将其绕着原点按逆时针方向旋转30°得到点P₂，延长OP₂到P₃，使OP₃=2OP₂，再将点P₃绕着原点按逆时针方向旋转30°得到点P₄，延长OP₄到P₅，使OP₅=2OP₄，如此继续下去，则点P₂₀₁₂的坐标是（${2}^{1006}\sqrt{3}$，-2¹⁰⁰⁵）．

Answer 1

分析 解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心原点，旋转方向逆时针，旋转角度30°，总结规律寻找得P₂₀₁₂的坐标．

解答 解：根据旋转的特点，总结规律．
P₁（1，0）在x轴上，P₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），P₃（$\sqrt{3}$，1），P₄（1，$\sqrt{3}$），P₅（2，2$\sqrt{3}$），P₆（0，4），P₇（0，8）在y轴上，
照此规律，每经过6个点就落到坐标轴上，2012÷6=335…2，335除以4，余数是3，
故点P₂₀₁₂的位置在第四象限，
∴P₂₀₁₂的坐标是（${2}^{1006}\sqrt{3}$，-2¹⁰⁰⁵）．
故答案为：（${2}^{1006}\sqrt{3}$，-2¹⁰⁰⁵）

点评 本题主要考查对坐标与图形变换-旋转等知识点的理解和掌握，解决本题的关键是通过作图，分析，观察，得到相应的规律．