Question

已知直角坐标系中，点A（0，3），B（-6，0）．连结AB，作直线y=1，交AB于点P₁，过P₁作P₁Q₁⊥x轴于Q₁；连结AQ₁，交直线y=1于点P₂，P₂Q₂⊥x轴于Q₂；…以此类推．则点Q₃的坐标为

 

；△P_nQ_nA的面积为=

 

（用含n的代数式表示）．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：规律型

分析：①由P₁Q₁⊥x轴于Q₁，P₂Q₂⊥x轴于Q₂，…，以此类推．可得：P₁Q₁∥P₂Q₂∥P₃Q₃∥…∥P_nQ_n∥y轴，进而可得△BP₁Q₁∽△ABO，△P₂Q₁Q₂∽△AQ₁O，△P₃Q₂Q₃∽△AQ₂O，…，然后根据相似三角形的对应边成比例，可求出BQ₁，Q₁Q₂，Q₂Q₃，…的值，进而可确定Q₁，Q₂，Q₃的坐标及P₁，P₂，P₃的坐标，然后根据Q₁，Q₂，Q₃的坐标及P₁，P₂，P₃的坐标，寻求规律，归纳出P_n，Q_n的坐标；
②根据△AP₁Q₁的面积=△ABQ₁的面积-△BP₁Q₁的面积=

1

2

•BQ₁•OA-

1

2

•BQ₁•P₁Q₁=BQ₁，△AP₂Q₂的面积=△AQ₁Q₂的面积-△Q₁P  2Q₂的面积=

1

2

•Q₁Q₂•OA-

1

2

•Q₁Q₂•P₂Q₂=Q₁Q₂，…，可得归纳出：△P_nQ_nA的面积=Q_n-1Q_n，然后将Q_n-1，Q_n的横坐标代入即可．

解答：解：①∵点A（0，3），B（-6，0），作直线y=1，交AB于点P₁，
∴OA=3，OB=6，P₁Q₁=P₂Q₂=P₃Q₃=1，
∵P₁Q₁⊥x轴于Q₁，P₂Q₂⊥x轴于Q₂，…，
∴P₁Q₁∥P₂Q₂∥P₃Q₃∥…∥P_nQ_n∥y轴，
∴△BP₁Q₁∽△ABO，△P₂Q₁Q₂∽△AQ₁O，△P₃Q₂Q₃∽△AQ₂O，…，
∴

P1Q1

OA

=

BQ1

OB

，

P2Q2

OA

=

Q1Q2

OQ1

，

P3Q3

OA

=

Q2Q3

OQ2

，…，
∴BQ₁=2，Q₁Q₂=

4

3

，Q₂Q₃=

8

9

，…，
∴Q₁（-4，0），Q₂（-

8

3

，0），Q₃（-

16

9

，0），…，
P₁（-4，1），P₂（-

8

3

，1），P₃（-

16

9

，0），…，
即Q₁（-

22

30

，0），Q₂（-

23

31

，0），Q₃（-

24

32

，0），…，
P₁（-

22

30

，1），P₂（-

23

31

，1），P₃（-

24

32

，0），…，
∴Q_n-1（-

2n

3n-2

，0），Q_n（-

2n+1

3n-1

，0），P_n-1（-

2n

3n-2

，1）P_n（-

2n+1

3n-1

，1），
故点Q₃的坐标为：Q₃（-

16

9

，0），
故答案为：Q₃（-

16

9

，0）；
②∵△AP₁Q₁的面积=△ABQ₁的面积-△BP₁Q₁的面积=

1

2

•BQ₁•OA-

1

2

•BQ₁•P₁Q₁=BQ₁，
△AP₂Q₂的面积=△AQ₁Q₂的面积-△Q₁P  2Q₂的面积=

1

2

•Q₁Q₂•OA-

1

2

•Q₁Q₂•P₂Q₂=Q₁Q₂，…，
∴△P_nQ_nA的面积=Q_n-1Q_n=

2n+1

3n-1

-

2n

3n-2

=-

2n

3n-1

．
故答案为：-

2n

3n-1

．

点评：此题考查了相似三角形的判断与性质及三角形的面积公式，解题的关键是：根据Q₁，Q₂，Q₃的坐标及P₁，P₂，P₃的坐标，寻求规律，归纳出P_n，Q_n的坐标．