Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC=15，∠B=30°，点D为AB边上一动点，且AD=AE，BD=DF，要使△DEF与△CEF均为直角三角形，则AD的值为5或6．

Answer 1

分析 由于在△ABC中，AB=AC，AD=AE，可得DE∥BC，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EDF=30°，再根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，分∠DFE=90°和∠DEF=90°两种情况讨论可求AD的长．

解答 解：∵在△ABC中，AB=AC，AD=AE，
∴DE∥BC，
∵∠B=30°，
∴∠EDF=30°，
∴当∠DFE=90°时，设AD=x，则BD=DF=15-x，DE=$\sqrt{3}$x，则15-x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$x，解得x=6；
当∠DEF=90°时，设AD=x，则BD=DF=15-x，DE=$\sqrt{3}$x，则$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（15-x）=$\sqrt{3}$x，解得x=5．
综上所述，AD=5或6．
故答案为：5或6．

点评 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和平行线的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，以及分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．