Question

20．如图，一条光纤线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=40千米，
∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的光纤线路．
（1）求新铺设的光纤线路AB的长度；（结果保留根号）
（2）问整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，利用∠CAD的正弦和余弦分别求出CD、AD，再利用∠CBA的正切求出BD，然后根据AB=AD+BD计算即可得解；
（2）利用勾股定理列式求出BC，然后列式计算即可得解．

解答 解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=AC•sin30°=40×$\frac{1}{2}$=20（千米），
AD=AC•cos∠CAD=AC•cos30°=40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=20$\sqrt{3}$（千米），
在Rt△BCD中，BD=$\frac{CD}{tan∠CBA}$=$\frac{20}{tan45°}$=$\frac{20}{1}$=20（千米），
∴AB=AD+DB=20$\sqrt{3}$+20=20（$\sqrt{3}$+1）（千米），
则新铺设的光纤线路AB的长度20（$\sqrt{3}$+1）（千米）；

（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}+2{0}^{2}}$=20$\sqrt{2}$（千米），
所以AC+CB-AB=40+20$\sqrt{2}$-20（$\sqrt{3}$+1）=20（1+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$）（千米），
则整改后从A地到B地的光纤线路比原来缩短了20（1+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$）千米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，主要利用了锐角三角函数，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．