Question

15．在矩形纸片ABCD的正中间，摆放一个菱形EFGH，形成如图1所示的轴对称图形，已知AB=8，BC=16，∠E=60°．现将矩形纸片折叠，使矩形的顶点C与对角线交点O重合，折痕为MN，如图2所示，如果菱形的顶点G恰好落在折痕MN上，则菱形EFGH的面积为$\frac{50}{3}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先连接HF并延长，交BC于P，得到OP=$\frac{1}{2}$AB=4，CP=$\frac{1}{2}$BC=8，设CM=OM=x，则PM=8-x，在Rt△OPM中，根据勾股定理可得PM²+PO²=OM²，进而得到（8-x）²+4²=x²，求得OM=5，再根据菱形EFGH中，∠OGF=$\frac{1}{2}$∠FGH=$\frac{1}{2}$∠FEH=30°，OG⊥OF，即可得出HF=$\frac{10}{3}\sqrt{3}$，EG=10，最后根据菱形EFGH的面积=$\frac{1}{2}$HF×EG，进行计算即可．

解答 解：如图所示，连接HF并延长，交BC于P，则OP=$\frac{1}{2}$AB=4，CP=$\frac{1}{2}$BC=8，
设CM=OM=x，则PM=8-x，
∵Rt△OPM中，PM²+PO²=OM²，
∴（8-x）²+4²=x²，
解得x=5，即OM=5，
∵OG∥PM，
∴∠OGM=∠CMG，
又∵∠CMG=∠OMG，
∴∠OGM=∠OMG，
∴OG=OM=5，
又∵菱形EFGH中，∠OGF=$\frac{1}{2}$∠FGH=$\frac{1}{2}$∠FEH=30°，OG⊥OF，
∴OF=tan30°×OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×5=$\frac{5}{3}\sqrt{3}$，
∴HF=$\frac{10}{3}\sqrt{3}$，EG=10，
∴菱形EFGH的面积=$\frac{1}{2}$HF×EG=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}\sqrt{3}$×10=$\frac{50}{3}\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{50}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．解题时注意：菱形面积=$\frac{1}{2}$ab（a、b是菱形两条对角线的长度）．