Question

8．如图，△ABC和△DEF均是边长为4的等边三角形，△DEF的顶点D为△ABC的一边BC的中点，△DEF绕点D旋转，且边DF、DE始终分别交△ABC的边AB、AC于点H、G，图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称．连结HH′、HG、GG′、H′G′，其中HH′、GG′分别交BC于点I、J．
（1）求证：△DHB∽△GDC；
（2）设CG=x，四边形HH′G′G的面积为y，
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围．
②求当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的特点得到相等关系，即可；
（2）由相似三角形得到$\frac{CG}{BD}=\frac{CD}{BH}$，再结合对称，表示出相关的线段，四边形HH′G′G的面积为y求出即可．

解答 证明：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BHD+∠BDH=120°，
在正△DEF中，∠EDF=60°，
∴∠GDC+∠BDH=120°，
∴∠BHD=∠GDC，
∴△DHB∽△GDC，
（2）①∵D为BC的中点，
∴BD=CD=2，
由△DHB∽△GDC，
∴$\frac{CG}{BD}=\frac{CD}{BH}$，
即：$\frac{x}{2}=\frac{2}{BH}$，
∴BH=$\frac{4}{x}$，
∵H，H′和G，G′关于BC对称，
∴HH′⊥BC，GG′⊥BC，
∴在Rt△BHI中，BI=$\frac{1}{2}$BH=$\frac{2}{x}$，HI=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BH=$\frac{2}{x}$$\sqrt{3}$，
在Rt△CGJ中，CJ=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{x}{2}$，GJ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CG=$\frac{x}{2}$$\sqrt{3}$，
∴HH′=2HI=$\frac{4}{x}\sqrt{3}$，GG’=2GJ=$\sqrt{3}$x，IJ=4-$\frac{2}{x}$-$\frac{x}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{x}\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$x）（4-$\frac{2}{x}$-$\frac{x}{2}$）
∵边DF、DE始终分别交△ABC的边AB、AC于点H、G，
∴当△DEF绕点D旋转时，点H和A重合时，AG=3，
∴x=CG=1，
当点G和A重合时，CG=4，
∴x=4，
∴1≤x≤4
②由①得，y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{4}{x}$+x）²+2$\sqrt{3}$（$\frac{4}{x}$+x），
设$\frac{4}{x}+x$=a，得y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²+2$\sqrt{3}$a，
当a=4时，y最大=4$\sqrt{3}$，
此时$\frac{4}{x}+x$=4，解得x=2．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查相似三角形的性质和判定以及对称的性质，用x表示线段是解决本题的关键，也是难点．