Question

19．如图，在?ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动点P从点A出发，沿AC向终点C移动，过点P分别作PM∥AB，交BC于M，PN∥AD，交DC于N．连结AM．
（1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由；
（2）当AP=1时，四边形PMCN的面积与△ABM的面积是否相等？

Answer 1

分析 （1）由题可知，四边形PMCN是一个平行四边形，而要想成为一个菱形，则必须有邻边相等，如PM=MC，而PM和MC同在一直角三角形中，且PM为斜边＞直角边MC，因此不会为菱形；
（2）在等腰直角△ABC中利用三角函数求得AC的长，则PC即可求得，从而求得CM的长，则△ABM和四边形PMCN的面积即可求得，即可作出判断．

解答 解：（1）四边形PMCN不可能是菱形．
点P在运动过程中，△PCM始终是一个直角三角形
斜边PM大于直角边MC
∴四边形PMCN不可能是菱形；

（2）在等腰直角△ABC中，AB=2，则AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
当AP=1时，PC=CM=$\sqrt{2}$-1．BM=2-（$\sqrt{2}$-1）=3-$\sqrt{2}$．
则S_△ABM=$\frac{1}{2}$BM•AC=$\frac{1}{2}$（3-$\sqrt{2}$）×$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1．
S_{四边形PMCN}=MC•PC=（3-$\sqrt{2}$）（$\sqrt{2}$-1）=4$\sqrt{2}$-1．
则四边形PMCN的面积与△ABM的面积不相等．

点评 本题考查了菱形的判定与三角形的面积的计算，正确求得MC和PC的长是关键．