Question

3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=3，H是AF的点，则GH的长是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 1.5

Answer 1

分析 连接DH并延长交GF于M，由ASA证明△ADH≌△FMH，得出对应边DH=MH，AD=FM=2，证出△DGM是等腰直角三角形，由三角函数求出DM，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．

解答 解：连接DH并延长交GF于M，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=BC=CD=2，GF=CG=CE=3，∠ADC=∠ADG=∠DGD=90°，
∴DG=1，AD∥GF，
∴∠DAH=∠MFH，
∵H是AF的中点，
∴AH=FH，
在△ADH和△FMH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAH=∠MFH}&{\;}\\{AH=FH}&{\;}\\{∠AHD=∠FHM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△FMH（ASA），
∴DH=MH，AD=FM=2，
∴GM=GF-FM=1，
∴DG=GM，
∴△DGM是等腰直角三角形，
∴DM=$\sqrt{2}$DG=$\sqrt{2}$，
∵∠DGM=90°，DH=MH，
∴GH=$\frac{1}{2}$DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故选：C．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．