Question

如图，⊙O的弦AC、BD交于点Q，AP、CP是⊙O的切线，O、Q、P三点共线．求证：PA²=PB•PD．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：证明题

分析：连接OA、OB、OD，设DP交⊙O于E．利用已知条件“AP、CP是⊙O的切线”可以证得A、O、C、P四点共圆；然后根据相交弦定理知OQ•PQ=AQ•CQ、DQ•BQ=AQ•CQ，由等量代换可以求得OQ•PQ=DQ•BQ，所以D、O、B、P四点共圆，所以由圆周角、弦、弧间的关系可以证得∠DPO=∠BPO，PB=PE；最后根据切割线定理得出结论PA²=PE•PD=PB•PD．

解答：证明：连接OA、OB、OD、OC，设DP交⊙O于E．
∵AP、CP是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠PCO=90°
∴A、O、C、P四点共圆，
∴OQ•PQ=AQ•CQ（相交弦定理）；
又∵DQ•BQ=AQ•CQ（相交弦定理），
∴OQ•PQ=DQ•BQ，
∴D、O、B、P四点共圆；
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
又∵ODPB四点共圆
∴∠ODB=∠OPB；∠OBD=∠OPD；
∴∠OPD=∠OPB，
∴PB=PE，
∴PA²=PE•PD=PB•PD（切割线定理），即PA²=PB•PD．

点评：本题考查了四点共圆的知识．把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连接并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．