Question

8．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c的顶点，则抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c与直线y=1交点的个数是（　　）

• A． 0个或1个
• B． 0个或2个
• C． 1个或2个
• D． 0个、1个或2个

Answer 1

分析 令y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，y=1，要求方程$\frac{1}{2}$x²+bx+c=1的解的个数，只需求抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与直线y=1有没有交点即可．

解答 解：由抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象可知，该抛物线与x轴没有交点，
            即：△＜0，
            则：b²-4c＜0，
           又点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，点M的坐标为：（-b，$\frac{2c-{b}^{2}}{2}$），
           所以，0＜$\frac{2c-{b}^{2}}{2}$＜2，即：-4＜b²-2c＜0，
∴：-2＜b²-2c+2＜2，
         联立抛物线解析式y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c和直线y=1，
则要求方程$\frac{1}{2}$x²+bx+c=1的解得个数，
          又因为，△=b²-4×$\frac{1}{2}$（c-1）=b²-2（c-1）=b²-2c+2，
          所以，-2＜b²-2c+2＜2，
          即：①当-2＜b²-2c+2＜0时，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与直线y=1没有交点；
                 ②b²-2c+2=0时，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与直线y=1有一个交点；
              ③0＜b²-2c+2＜2时，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与直线y=1有两个交点．
        故选：D．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是理解二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．