Question

20．如图，AB为⊙O直径，且弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于点F．
（1）若EN⊥BC于点N，延长NE与AD相交于点M．求证：AM=MD；
（2）若⊙O的半径为10，且cosC=$\frac{4}{5}$，求切线BF的长．

Answer 1

分析 （1）想办法证明AM=EM，DM=EM即可解决问题；
（2）求出AF=$\frac{5}{4}AB=\frac{5}{4}×20=25$，根据BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$计算即可解决问题；

解答 （1）证法一：∵∠A与∠C对同弧BD，
∴∠A=∠C，
∵CD⊥AB于点E，
∴∠CEB=90°．
∴∠C+∠CBE=90°．
∵MN⊥BC，
∴∠ENB=90°．
∴∠NEB+∠CBE=90°．
∴∠C=∠NEB，
∵∠NEB=∠AEM，
∴∠AEM=∠A，
∴AM=ME，
∵∠AEM=∠A，
∠MED+∠AEM=90°，
∠EDA+∠A=90°，
∴∠MED=∠EDA，
∴ME=MD，
∴AM=MD．

证法二：∵∠CDA与∠CBA对同弧AC，
∴∠CDA=∠CBA，
∵CD⊥AB于点E，
∴∠AED=90°，
∴∠MED+∠MEA=90°，
∵MN⊥BC，
∴∠ENB=90°，
∴∠CBA+∠BEN=90°，
∵∠MEA=∠BEN，
∴∠MED=∠CBA，
∴∠MED=∠CDA，
∴ME=MD，
∵∠MED+∠AEM=90°，
∠CDA+∠A=90°，
∴∠AEM=∠A，
∴AM=ME，
∴AM=MD．

（2）解：∵BF与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BF．
∴∠ABF=90°．
∵∠C与∠A对同弧BD，
∴∠C=∠A，
∴cosA=cosC=$\frac{4}{5}$，
∴cosA=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{4}{5}$，
∴AF=$\frac{5}{4}AB=\frac{5}{4}×20=25$，
∴BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}$=15．

点评 本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．