Question

18．如图，经过点A（-1，0），C（0，-2）的抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求此抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y₁，若新抛物线y₁的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）在（1）的结论下，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得∠APB为锐角？若存在，求出点P的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把点A（-1，0），C（0，-2）代入抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$求出b，c的值即可得出其解析式，再求出顶点D的坐标即可；
（2）根据图形平移的性质用m表示出抛物线y₁的解析式，根据锐角三角函数的定义得出当x=$\frac{1}{2}$时EF的长即可得出m的取值范围内；
（3）先根据勾股定理判断出△ABC的形状，再根据抛物线的对称性得出∠APB=90°时另一点的坐标，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（-1，0），C（0，-2）在抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$上，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}-b+c=0\\ b=-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=-\frac{3}{2}\\ c=-2\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
∴D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；

（2）∵由（1）知，抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，即y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴新抛物线y₁的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{25}{8}$+m，
∴其顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，m-$\frac{25}{8}$），
∴设抛物线y₁的对称轴为直线l，即x=$\frac{1}{2}$．
∵顶点P在△ABC内，B（4，0），
∴新抛物线的顶点在线段EF上，
∵B（4，0），C（0，-2）
∴BE=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，OC=2，
∴$\frac{EF}{BE}$=$\frac{OC}{OB}$，即$\frac{EF}{\frac{7}{2}}$=$\frac{2}{4}$，解得EF=$\frac{7}{4}$，
∵D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$），$\frac{25}{8}$-$\frac{7}{4}$=$\frac{11}{8}$，
∴$\frac{11}{8}$＜m＜$\frac{25}{8}$；

（3）∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{20}$，AB=4+1=5，
∴△ACB是直角三角形，即∠ACB=90°．
过点C作CG∥x轴，
∵C（0，-2），
∴G（3，-2），
∴当点P与点C或点G重合时∠APB=90°，
∴当点P在点C与点G之间的抛物线上时，∠APB是锐角，
∴点P的横坐标的取值范围为：0＜x＜3．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、锐角三角函数的定义、勾股定理的逆定理等知识，难度较大．