Question

7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点P是BC边上任意一点（B、C除外）PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为4.8．

Answer 1

分析 连接AP，先由勾股定理求出BC，再证明四边形AEPF是矩形，得出对角线相等EF=AP，然后由AP⊥BC时，AP最小，根据面积求出AP即可．

解答 解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
当AP⊥BC时，AP最小，
此时∵$\frac{1}{2}$BC•AP=$\frac{1}{2}$AB•AC，
∴AP=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8，
∴EF的最小值为4.8；
故答案为：4.8．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形面积的计算；证明四边形AEPF是矩形得出EF=AP和得出当AP⊥BC时AP最小是解决问题的关键．