Question

已知函数y=x²+mx+2，当1≤x≤2时，y＞0恒成立，则m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：由于1≤x≤2时，y＞0，则1+m+2＞0和4+2m+2＞0，解得m＞-3，而y＞0恒成立，所以抛物线在x轴上方，则△＜0，即m²-8＜0，解得m＞-2

2

或m＜2

2

，
然后确定m的取值范围．

解答：解：根据题意得x=1时，y=1+m+2＞0，解得m＞-3；
当x=2时，y=4+2m+2＞0，解得m＞-3，
△＜0，即m²-8＜0，解得m＞-2

2

或m＜2

2

，
所以m的取值范围为m＞-2

2

．
故答案为m＞-2

2

．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，当x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；当x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．