Question

已知抛物线对应的二次函数为y=a（x+10）（x+5），它与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，点D是以B为圆心、5为半径的圆周上位于第二象限内的动点，直线AD与y轴交于点E，设E（0，2t）．
（1）在抛物线对称轴上分别求满足下列条件的点的坐标（用t表示）：
①求点P使APBE的周长最小：
②求点Q使QE-QB的值最大；
（2）若直线与CD与⊙B相切，试用t表示a；
（3）在（1）、（2）的条件下，若6≤OD≤8，求ACPB面积的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）求出对称轴，根据①BE定值，故当P为直线AE与抛物线对称轴交点时，△PBE的周长最小，求出P点坐标；②当点Q位于直线EB与抛物线对称交点时，QE-QB的值最大，据此求出Q点坐标．
（2）若直线CD与⊙B相切，∠EAO=α，则∠ADB=∠ODC=α，在Rt△AOE中，易求得∠DEO=∠EDC=90°-α，∠DOE=α，故有CE=CD=OC，即是OE中点，判断出关系式；
（3）设抛物线对称轴与x轴交与T，则S_△CPB=S_梯形OCPT-S_△CPB-S_△COB，列出面积的表达式

5

2

t，根据t的取值范围求出面积的取值范围．

解答：解：（1）当y=0时，a（x+10）（x+5）=0，x₁=-10，x₂=-5．
对称轴为x=

-10-5

2

=-7.5；
①如图a，∵点B和点A关于抛物线对称轴对称，而对于每一个确定的t值，BE定值，故当P为直线AE与抛物线对称轴交点时，△PBE的周长最小．
易求得直线EA对应的一次函数为：y=

t

5

x+2t，当x=-7.5时，y=0.5t，即P（-7.5，0.5t）．
②如图b，当点Q位于直线EB与抛物线对称交点时，QE-QB的值最大，否则Q、B、E三点构成三角形，则QE-QB＜EB，
由直线EB对应一次函数为：y=

2t

5

x+2t，当x=-7.5时，y=-t，即Q（-7.5，-t）；
（2）如图c，令y=a（x+10）（x+5）中，x=0，得C（0，50a），
解法1：若直线CD与⊙B相切，连接BD，则BD⊥DC，又AO是⊙B的直径，
∴AD⊥DO，若设∠EAO=α，则∠ADB=∠ODC=α，在Rt△AOE中，
易求得∠DEO=∠EDC=90°-α，
∠DOE=α，故有CE=CD=OC，即是OE中点，故100a=2t，即t=50a．
解法2：∵CD、CO都与⊙B相切，
∴CD=CO，
∴∠CDO=∠COD，
在Rt△EDO中，∠DEO+∠DOE=90°，∠EDC+∠ODC=90°，
∴∠EDC=∠OEDC，
∴CD=CE，又由CD=CO，
∴CE=CO，即C是OE中点，
故100a=2t，即t=50a．
（3）解法1：易证Rt△OAD∽Rt△EAO，设OD=x，即

x

2t

=

10

100+4t2

，即x²=

100t2

25+t2

，由36≤

100t2

25+t2

≤64，得

15

4

≤t≤

20

3

．
由（1）P（-7.5，0.5t），由（2）C（0，t），如图d，设抛物线对称轴与x轴交与T，则S_△CPB=S_梯形OCPT-S_△CPB-S_△COB=

1

2

（0.5t+t）×

15

2

-

1

2

×

5

2

×0.5t-

1

2

×5×t=

5

2

t，
∵

75

8

≤

5

2

t≤

50

3

，
∴△CPB的面积的取值范围是：

75

8

≤S_△CPB≤

50

3

．
 解法2：由图e，当OD最长时，在Rt△AOD中，tan∠DAO=

OD

OA

=

4

3

，
在Rt△AOE中，tan∠EAO=

OE

AO

=

2t

10

=

4

3

，即t=

20

3

，
同理，当OD最短时，t=

15

4

，故

15

4

≤t≤

20

3

，
如图e（为了清晰，隐藏了抛物线），
∵AE∥BC，
∴S_△PBC=S_△DBC，
又∵S_△OBC=S_△DBC，
∴S_△PBC=S_△OBC=

5t

2

，
∵

75

8

≤

5

2

t≤

50

3

，
∴△CPB的面积的取值范围是：

75

8

≤S_△CPB≤

50

3

．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及相似三角形、圆等知识，要充分利用数形结合思想进行分析，找到解决问题的突破口．同时要注意一题多解，提升能力．