Question

15．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，tanA=$\frac{1}{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，求边AB的长和cos∠CDB的值．

Answer 1

分析 CE⊥AB于点E，分别解RT△BCE、RT△ACE求得BE、CE及AE的长，可得AB；根据中线结合BD的长可得DE，在RT△CDE中由勾股定理可得CD，继而计算得cos∠CDB．

解答 解：过点C作CE⊥AB于点E，

在RT△BCE中，∵BC=2$\sqrt{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CE=BC•sinB=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2，
在RT△ACE中，∵tanA=$\frac{1}{2}$，
∴AE=$\frac{CE}{tanA}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
∴AB=AE+BE=4+2=6，
∵CD是边AB上的中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴DE=BD-BE=1，
在RT△CDE中，∵CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠CDB=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故边AB的长为6，cos∠CDB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了解直角三角形的能力，构建直角三角形是解题的前提，依据三角函数、勾股定理解直角三角形求出所需线段的长是解题的关键．