Question

4．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点P（1，m）（m＞0）和点Q关于x轴对称．
（1）求证：直线OP∥直线AQ；
（2）过点P作PB∥x轴，与直线AQ交于点B，如果AP⊥BO，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线OP和AQ的解析式分别为y=k₁x和 y=k₂x+b₂．由题意得出点Q的坐标为（1，-m），k₁=m，$\left\{\begin{array}{l}{k_2}+{b_2}=-m\\ 2{k_2}{+}{b_2}=0\end{array}\right.$，解方程组得出$\left\{\begin{array}{l}{k_2}=m\\{b_2}=-2m\end{array}\right.$，得出k₁=k₂=m即可，
（2）证明四边形POAQ是菱形，得出PO=AO，由勾股定理得出$\sqrt{1+{m^2}}=2$，得出$m=\sqrt{3}$，即可点P的坐标．

解答 （1）证明：设直线OP和直线AQ的解析式分别为y=k₁x和 y=k₂x+b₂．
根据题意，得：点Q的坐标为（1，-m），k₁=m，$\left\{\begin{array}{l}{k_2}+{b_2}=-m\\ 2{k_2}{+}{b_2}=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k_2}=m\\{b_2}=-2m\end{array}\right.$，
∵k₁=k₂=m，
∴直线OP∥直线AQ；
（2）解：∵OP∥AQ，PB∥OA，AP⊥BO，
∴四边形POAQ是菱形，
∴PO=AO，
∴$\sqrt{1+{m^2}}=2$，
∴$m=±\sqrt{3}$．
∵m＞0，
∴$m=\sqrt{3}$，
∴点P的坐标是$（{1，\sqrt{3}}）$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、一次函数的解析式、勾股定理、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出m是解决问题（2）的关键．