Question

12．如图，已知BD是Rt△ABC的腰AC上的中线，AE⊥BD，交BD于点E，延长AE交BC于点F，求证：∠ADB=∠CDF．

Answer 1

分析 过A、D分别做BC的垂线，设AG的长为1，得出与之相关联的线段的长度，进而利用角的正切值相等得出∠DBH=∠FDH，即可得出结论．

解答 证明：过A、D分别做BC的垂线，垂足分别为G、H．
设AG=1，那么CG=1，DH=$\frac{1}{2}$，BH=$\frac{2}{3}$，
tan∠DBH=$\frac{1}{3}$，
又∵∠GAF=∠DBH，
∴GF=$\frac{1}{3}$AG=$\frac{1}{3}$，
FH=GH-GF=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
tan∠FDH=$\frac{FH}{DH}$=$\frac{1}{3}$
∴∠DBH=∠FDH
∵∠ADB=∠DBH+∠C，
∠CDF=∠FDH+∠CDH，
∴∠ADB=∠CDF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及由正切值判定两个角相等，无论是证明还是计算题，都应该从不同角度思考，利用已学知识熟练求解．