Question

20．如图，在Rt△BAC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点F、E分别在AD、DC上，且AF=CE，连接BF、AE．
（1）求证：△ABF≌△CAE；
（2）判断BF与AE具有怎样的位置关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出∠C=45°，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，根据SAS即可证明△ABF≌△CAE；
（2）延长BF交AE于G，由△ABF≌△CAE，得出∠ABF=∠CAE，得出∠ABF+∠BAG=∠BAC=90°，因此∠AGB=90°，证出BG⊥AE即可．

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠C=45°，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
在△ABF和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}&{\;}\\{∠BAF=∠C=45°}&{\;}\\{AB=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
（2）解：BF⊥AE；理由如下：延长BF交AE于G，如图所示：
∵△ABF≌△CAE，
∴∠ABF=∠CAE，
∵∠ABF+∠BAG=∠CAE+∠BAG=∠BAC=90°，
∴∠AGB=90°，
∴BG⊥AE，
∴BF⊥AE．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线的判定方法；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．