Question

3．如图1，?ABCD中，AE⊥BC于E，AE=AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF．
（1）若BE=2EC，AB=$\sqrt{13}$，求AD的长；
（2）求证：EG=BG+FC；
（3）如图2，若AF=5$\sqrt{2}$，EF=2，点M是线段AG上的一个动点，连接ME，将△GME沿ME翻折得△G′ME，连接DG′，试求当DG′取得最小值时GM的长．

Answer 1

分析 （1）设AE=AD=BC=x，则BE=$\frac{2x}{3}$，CE=$\frac{1}{3}$x，根据勾股定理求出x，得到答案；
（2）作GH∥BC，交CD于点H，根据全等三角形的判定方法，判断出△AGE≌△GFH，即可证明EG=BG+FC；
（3）只有当E、G′、D在一条直线上时，DG′取得最小值，根据AF=5$\sqrt{2}$，EF=2，求出AG=GF=5，GE=G′E=3．已知AG，需要求GM，则需要先求AM．构造一个直角三角形：延长DA、G′M相较于点N，过点M作MP⊥AN，从而根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质求出AM．

解答 （1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BC，BE=2EC，
设AE=AD=BC=x，则BE=$\frac{2x}{3}$，CE=$\frac{1}{3}$x，
在Rt△ABE中，BE²+AE²=AB²，
即（$\frac{2x}{3}$）²+x²=13，
解得x=±3，
即AD=3；
（2）证明：如图1，作GH∥BC，交CD于点H，
∵EG⊥AB，AB∥CD，
∴FG⊥CD，
∴∠GFH=90°，
∵AE⊥BC，GH∥BC，
∴AE⊥GH，
∴∠GAE+∠AGH=90°，
又∵∠FGH+∠AGH=90°，
∴∠GAE=∠FGH，
∵AE=AD，GH=AD，
∴AE=GH，
在△AGE和△GFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAE=∠FGH}\\{∠AGE=∠GFH=90°}\\{AE=GH}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△GFH（AAS），
∴EG=FH=FC+CH，
又∵CH=BG，
∴EG=BG+FC．
（3）只有当E、G′、D在一条直线上时，DG′取得最小值．如图2．
由（2）得△AGE≌△GFH，
∴AG=GF，
在Rt△AGF中，
∵AF=5$\sqrt{2}$，
∴AG=GF=5，
又∵EF=2，
∴GE=GF-EF=5-2=3，
∵将△GME沿ME翻折得△G′ME，
∴G′E=GE=3，
在Rt△AGE中，
AE=$\sqrt{{AG}^{2}{+GE}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}{+3}^{2}}=\sqrt{34}$，
∵AE=AD，
∴在Rt△DAE中，ED=$\sqrt{2}$AE=2$\sqrt{17}$．
∴G′D=2$\sqrt{17}$-3．
延长DA、G′M相较于点N，过点M作MP⊥AN．
在Rt△NDG′中，
∵∠NDG′=45°，
∴NG′=DG′=2$\sqrt{17}$-3．
∴ND=$\sqrt{2}$DG′=2$\sqrt{34}$-3$\sqrt{2}$，
∴AN=ND-AD=2$\sqrt{34}$-3$\sqrt{2}$-$\sqrt{34}$=$\sqrt{34}$-3$\sqrt{2}$；
∵∠PAM+∠GAE=90°，∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠PAM=∠AEG；
∴△PAM∽△GEA，
∴$\frac{PA}{PM}=\frac{GE}{AG}$=$\frac{3}{5}$．
在Rt△NDG′中，由∠NDG′=45°得∠N=45°，
∴NP=MP，
∴AP=$\frac{3}{8}$AN=$\frac{3}{8}$×（$\sqrt{34}$-3$\sqrt{2}$），
∵由△PAM∽△GEA得$\frac{AM}{AE}=\frac{AP}{GE}$，即
∴AM=$\frac{\sqrt{34}}{3}$×$\frac{3}{8}$×（$\sqrt{34}$-3$\sqrt{2}$）=$\frac{17-3\sqrt{17}}{4}$，．
∴GM=AG-AM=5-$\frac{17-3\sqrt{17}}{4}$=$\frac{3\sqrt{17}+3}{4}$．

点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合方法的应用；
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握；
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．