Question

18．设a、b、c满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-bc-8a+7=0}\\{{b}^{2}+{c}^{2}+bc-6a+6=0}\end{array}\right.$
（1）求a的范围；
（2）对满足方程组（*）的任意a值，都有$\sqrt{a+3}$-a＞m（m为常数），求m的范围．

Answer 1

分析 （1）①+②得a²+b²+c²=14a-13，进一步得到b²+c²=-a²+14a-13=-（a-7）²+36，根据非负数的性质即可求出a的取值范围；
（2）令t=$\sqrt{a+3}$，可得$\sqrt{a+3}$-a=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{13}{4}$，把t的范围代入$\sqrt{a+3}$-a，可求m的范围．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-bc-8a+7=0①}\\{{b}^{2}+{c}^{2}+bc-6a+6=0②}\end{array}\right.$，
①+②得a²+b²+c²=14a-13，
b²+c²=-a²+14a-13=-（a-7）²+36，
∵b²+c²≥0，
∴-（a-7）²+36≥0，
∴（a-7）²≤36，
∴-6≤a-7≤6
∴1≤a≤13．
故a的范围为：1≤a≤13．
（2）令t=$\sqrt{a+3}$，
则t²=a+3，即a=t²-3，
则$\sqrt{a+3}$-a
=t-t²+3
=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{13}{4}$
∵2≤t≤4，
∴$\sqrt{a+3}$-a的最小值是-（4-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{13}{4}$=-9，
∴m＜-9．
故m的范围是m＜-9．

点评 本题考查的是高次方程、完全平方公式及最值问题，能把方程化为完全平方公式的形式是解答此题的关键．