Question

6．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为点M，N．求证：AP=MN．

Answer 1

分析 连接PC，根据正方形的性质可得∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，然后求出四边形PMCN是矩形，根据矩形的对角线相等可得PC=MN，再利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC，从而得解．

解答 解：连接PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，
又∵PN⊥DC，PM⊥BC，
∴∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴四边形PMCN为矩形，
∴PC=MN，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBD}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∴AP=MN．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．