Question

16．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，直径AB左侧的半圆上有一点动点E（不与点A、B重合），连结EB、ED．
（1）如果∠CBD=∠E，求证：BC是⊙O的切线；
（2）当点E运动到ED连线经过点O的，试证明：△EDB≌△ABD．

Answer 1

分析 （1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证得BC⊥AB即可；
（2）利用圆周角定理，全等三角形的判定定理AAS证得当点E运动到DE经过点O位置时，△EDB≌△ABD．

解答 证明：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ABD+∠BAD=90°．
又∵∠CBD=∠E，∠BAD=∠E，
∴∠ABD+∠CBD=90°，即∠ABC=90°．
∴BC⊥AB．
∴BC是⊙O的切线．

（2）当点E运动到DE经过点O位置时，△EDB≌△ABD．证明如下：
当点E运动到DE经过点O位置时，∠EBD=∠ADB=90°，
在△EDB与△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠ADB}\\{∠ABD=∠E}\\{BD=DB}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△ABD（AAS）．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了全等三角形的判定和性质以及圆周角定理定理的运用．