Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，连接BE、ED，过点B的直线交ED的延长线于F，且∠DBF=∠BED．
（1）判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O半径为4，BD=3，求CE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由AB为直径得到∠1+∠ABD=90°，∠1=∠BED，而∠DBF=∠BED，所以∠DBF=∠1，则∠DBF+∠ABD=90°，即∠ABF=90°，于是根据切线的判定定理即可得到BF为⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质由AC=AB=8，∠ADB=90°，得到BD=CD=3，在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=

55

，再由AB为直径得到∠AEB=90°，则可利用面积法计算出BE=

55 ×6

8

=

3 55

4

，然后在Rt△BEC中利用勾股定理可计算出CE．

解答：解：（1）BF与⊙O相切．理由如下：
连结AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠ABD=90°，
∵∠DBF=∠BED，∠1=∠BED，
∴∠DBF=∠1，
∴∠DBF+∠ABD=90°，即∠ABF=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF为⊙O的切线；
（2）∵AC=AB=8，
而∠ADB=90°，
∴BD=CD=3，
在Rt△ABD中，∵BD=3，AB=8，
∴AD=

AB2-BD2

=

55

，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴

1

2

AC•BE=

1

2

AD•BC，
∴BE=

55 ×6

8

=

3 55

4

，
在Rt△BEC中，∵BE=

3 55

4

，BC=6，
∴CE=

BC2-BE2

=

9

4

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理．