Question

如图所示，⊙O的半径为R，AB、CD是⊙O的任意两条弦，且AB垂直CD于M，求：AB²+（CM-DM）²．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，连接OB，根据垂径定理和勾股定理即可得出AB²+（CM-DM）²=4R²．

解答：解：过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，连接OB，
∴AB=2AE=2BE，CD=2CE=2DE，
∴在Rt△OBE中，OB²=OE²+BE²，
∵OB=R，
∴OE²+BE²=R²，
∴AB²+（CM-DM）²=AB²+（DM-CM）²
=AB²+（DF+MF-CM）²
=AB²+（CF+MF-CM）²
=AB²+（2MF）²
=（2BE）²+4MF²
=4BE²+4MF²
=4（BE²+OE²）
=4OB²
=4R²．

点评：本题考查了垂径定理以及勾股定理，常见的辅助线是过圆心作弦的垂线．