Question

∵

1

1×3

=

1

2

×（1-

1

3

），

1

3×5

=

1

2

（

1

3

-

1

5

），

1

5×7

=

1

2

（

1

5

-

1

7

）…
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+

1

2

×（

1

5

-

1

7

）=…
（1）按此规律，在算式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第6项为

 

，前6项和为多少？请写出计算前6项求和过程；
（2）按此规律，在算式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第n项为

 

，前n项和为多少？请写出计算前n项求和过程；
（3）按此规律，前n项和可以是

100

201

吗？若是，这是前多少项的和？请写出计算过程．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：由题意可知：分母是两个相邻奇数的乘积，分子是1的分数可以拆成分子是1，分母是这两个奇数的分数的差，由此得出规律：

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

；
（1）（2）利用以上规律得出答案，进一步拆项抵消计算即可；
（3）利用（2）的计算结果判定即可．

解答：解：（1）第6项为

1

11×13

，
前6项和为

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

11×13

=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

11

-

1

13

）
=

1

2

×（1-

1

13

）
=

1

2

×

10

13

=

5

13

；
（2）第n项为

1

(2n-1)(2n+1)

，
前n项和为

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

═

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

×（1-

1

2n+1

）
=

1

2

×

2n

2n+1

=

n

2n+1

；
（3）∵

n

2n+1

=

100

201

，
∴n=100．
∴这是前100项的和．

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

199×201

=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

199

-

1

201

）
=

1

2

×（1-

1

201

）
=

1

2

×

200

201

=

100

201

．

点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．