Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=

5

2

，BC=4，连接BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD
（1）求AD的长；
（2）若∠C=30°，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）延长AE交BC于点F，根据等角对等边即可证得BF=AB，然后证明四边形AFCD是平行四边形，据此即可求解；
（2）过B作AF的垂线BG，垂足为G．在Rt△BGF中利用三角函数即可求得GF的长，进而求得DC的长，则四边形的周长即可求解．

解答：解：（1）延长AE交BC于点F．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF．
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴BF=AB=

5

2

．
∵BC=4，
∴FC=4-

5

2

=

3

2

．
∵AF∥DC，AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AD=FC=

3

2

．

（2）过B作AF的垂线BG，垂足为G．
∵AF∥∥DC，∠AFB=∠C=30°，
在Rt△BGF中，GF=BF•cos30°=

5

2

×

3

2

=

5 3

4

，
∴DC=AF=2GF=2×

5 3

4

=

5 3

2

．
∴四边形ABCD的周长AB+BC+CD+DA=

5

2

+4+

5 3

2

+

3

2

=8+

5 3

2

．

点评：考查了平行四边形的判定，三角函数的应用的综合题，正确作出辅助线是关键．