Question

18．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，ED⊥AE，ED交AC于点M，BF⊥AC于点F，交AE于点N，给出下列结论：①△ABN≌△ECM；②tan∠EAC=$\frac{1}{3}$；③AF：FM：CM=3：7：5，其中正确的是（　　）

• A． ①
• B． ①②
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根据SAS判定△ABE≌△DCE，得出△ADE是等腰直角三角形，再根据ASA即可判定△ABN≌△ECM；根据CE∥AD，即可得到$\frac{EM}{DM}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，进而得出EM=$\frac{1}{3}$DE=$\frac{1}{3}$AE，即可得到Rt△AEM中，tan∠EAC=$\frac{EM}{AE}$=$\frac{1}{3}$；根据射影定理即可得到AF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，根据CE∥AD，即可得到CM=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，再根据FM=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{7}{15}\sqrt{5}$，即可得出AF：FM：CM=3：7：5．

解答 解：E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABE=∠DCE}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE，而AE⊥DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=45°，
∴AB=BE=CE=CD，
∵ED⊥AE，∠ABE=90°，
∴∠BAN+∠AEB=90°，∠CEM+∠AEB=90°，
∴∠BAN=∠CEM，
∵Rt△ABC中，BF⊥AC，
∴∠ABN+∠BAC=90°，∠ECM+∠BAC=90°，
∴∠ABN=∠ECM，
在△ABN和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAN=∠CEM}\\{AB=EC}\\{∠ABN=∠ECM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ECM（ASA），故①正确；

∵CE∥AD，
∴$\frac{EM}{DM}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴EM=$\frac{1}{3}$DE=$\frac{1}{3}$AE，
∴Rt△AEM中，tan∠EAC=$\frac{EM}{AE}$=$\frac{1}{3}$，故②正确；

设AB=BE=CE=CD=1，则Rt△ABC中，AC=$\sqrt{5}$，
∵BF⊥AC，
∴AB²=AF×AC，即1=AF×$\sqrt{5}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵CE∥AD，
∴$\frac{CM}{AM}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CM=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴FM=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{7}{15}\sqrt{5}$，
∴AF：FM：CM=3：7：5，故③正确，
故选：D．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理以及射影定理的综合应用，解题时注意：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．