Question

7．在△ABC中，E、F分别为边AB、AC的中点，G为线段EF上一点，记△ABC、△AGC、△ABG、△GBC面积分别为S、S₁、S₂、S₃，已知S₁=λ₁S，S₂=λ₂S，S₃=λ₃S，且λ₃=2λ₁，则$\frac{1}{λ_1}+\frac{2}{λ_2}+\frac{3}{λ_3}$=18．

Answer 1

分析 由点E、F分别为边AB、AC的中点，可得△GFC的边GF的高=△GFA的边GF的高=△BCG的边BC上的高，从而可得 S_△AGC=GF•h，S_△BCG=$\frac{1}{2}$BC•h，λ₃=2λ₁，可得S_△BCG=2S_△AGC，可求出BC=2EF，即点G为EF的中点，确定S₁=S₂，由S=S₁+S₂+S₃，可得λ₁值，从而得出λ₃，λ₂的值，代入$\frac{1}{λ_1}+\frac{2}{λ_2}+\frac{3}{λ_3}$求解即可．

解答 解：如图：
∵E、F分别为边AB、AC的中点，
∴△GFC的边GF的高=△GFA的边GF的高=△BCG的边BC上的高，
设它们的高为h，
∴S_△AGC=S_△AGF+S_△CGF=$\frac{1}{2}$GF•h+$\frac{1}{2}$GF•h=GF•h，
S_△BCG=$\frac{1}{2}$BC•h，
∵△ABC、△AGC、△ABG、△GBC面积分别为S、S₁、S₂、S₃，S₁=λ₁S，S₃=λ₃S，且λ₃=2λ₁，
∴S₃=2S₁，即S_△BCG=2S_△AGC，
∴$\frac{1}{2}$BC•h=2GF•h，
∴BC=4GF，
∵BC=2EF，
∴点G为EF的中点，
∴S_△EGA=S_△AGF，S_△EGB=S_△GFC
∴S₁=S₂，
∵S=S₁+S₂+S₃，即S=λ₁S+λ₂S+λ₃S=4λ₁S，
∴λ₁=$\frac{1}{4}$，
∴λ₃=$\frac{1}{2}$，λ₁=λ₂=$\frac{1}{4}$，
$\frac{1}{λ_1}+\frac{2}{λ_2}+\frac{3}{λ_3}$=4+8+6=18．
故答案为：18．

点评 本题主要考查了面积及等积变换，解题的关键是正确的求出点G在EF上的位置．