Question

20．如图，点P的坐标为（2，$\frac{3}{2}$），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，作PB⊥AP交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于点B，连结AB．已知tan∠BAP=$\frac{3}{2}$．
（1）求k的值；
（2）求直线AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）由点P的坐标可得出A点的坐标以及线段AP的长度，通过解直角三角形可求出BP的长度，结合点P的坐标即可得出B点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）设直线AB的解析式y=ax+b．结合A、B点的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式．

解答 解：（1）∵点P的坐标为（2，$\frac{3}{2}$），
∴AP=2，点A的坐标为（0，$\frac{3}{2}$）．
在Rt△ABP中，∠APB=90°，tan∠BAP=$\frac{3}{2}$，AP=2，
∴BP=AP•tan∠BAP=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴点B的坐标为（2，$\frac{9}{2}$）．
∵点B（2，$\frac{9}{2}$）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上，
∴$\frac{9}{2}$=$\frac{k}{2}$，解得：k=9．
（2）设直线AB的解析式y=ax+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}=b}\\{\frac{9}{2}=2a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数交点问题、待定系数法求函数解析式以及解直角三角形，解题的关键是：（1）求出点B坐标；（2）利用待定系数法求函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过边角关系找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．