Question

9．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，AD∥BC交OC的延长线于点D．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若AB∥DC，AD=3，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明AD为⊙O的切线，只要证明∠DAO=90°，根据垂径定理可以证明OA⊥BC，因为AD∥BC，所以不难证明∠DAO=90°．
（2）先证明△AOC是等边三角形，根据阴影部分的面积=S_△ADO-S_扇形AOC进行计算即可．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴OA⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OEC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：∵AB∥DC，
∴∠ABC=∠BCO，
∵AB=AC，
∴∠ACE=∠ABC=∠OCE，
∵∠CAE+∠ACE=90°，∠COA+∠OCE=90°，
∴∠CAO=∠COA，
∴CA=OC=AO，
∴△AOC是等边三角形，
∴AO=OC=AD=2，∠AOC=60°，
在RT△AOD中，∵OA=2，∠D=30°，
∴AD=$\sqrt{3}$AO=2$\sqrt{3}$
∴阴影部分的面积=S_△ADO-S_扇形AOC=$\frac{1}{2}$•AD•OA-$\frac{60π•{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查切线的判定、等边三角形的判定和性质、扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法，学会利用分割法求面积，所以中考常考题型．