Question

9．如图，矩形ABCD中，AD=6，CD=6+$2\sqrt{2}$，E为AD上一点，且AE=2，点F，H分别在边AB，CD上，四边形EFGH为矩形，点G在矩形ABCD的内部，则当△BGC为直角三角形时，AF的值是2或4．

Answer 1

分析 如图过点G作MN⊥AB垂足为M，交CD于N，作GK⊥BC于K，先证明△HNG≌△FAE，得到AE=NG=2，ED=GM=4，再由△CGK∽△GBK得到$\frac{CK}{GK}$=$\frac{GK}{BK}$，GK=MB=CN=2$\sqrt{2}$，由△AEF∽△MFG，得到$\frac{AE}{MF}$=$\frac{AF}{MG}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图过点G作MN⊥AB垂足为M，交CD于N，作GK⊥BC于K．
∵四边形EFGH是矩形，
∴GH=EF，GH∥EF，∠A=90°，
∴∠DNM+∠NMA=90°，
∴∠AMN=∠DNM=90°，
∵CD∥AB，
∴∠NHG=∠AFE，
在△HNG和△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HNG=∠FAE}\\{∠NHG=∠AFE}\\{GH=EF}\end{array}\right.$，
∴△HNG≌△FAE，
∴AE=NG=2，ED=GM=4，
∵四边形NGKC、四边形GMBK都是矩形，
∴CK=GN=2，BK=MG=4，
当∠CGB=90°时，∵△CGK∽△GBK，
∴$\frac{CK}{GK}$=$\frac{GK}{BK}$，
∴GK=MB=CN=2$\sqrt{2}$，
∴DN=AM=AB-MB=6，
∴四边形AMND是正方形，设AF=x，则FM=6-x，
∵△AEF∽△MFG，
∴$\frac{AE}{MF}$=$\frac{AF}{MG}$，
∴$\frac{2}{6-x}$=$\frac{x}{4}$
∴x²-6x+8=0，
∴x=2或4．
∴AF=2或4．
故答案为2或4

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形得到和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形，学会转化的思想，把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型．