Question

10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），P为线段OB（不包括端点）上的一个动点，将△AOP沿AP对折，O的对称点记为E．
（1）求PE+PB的长；
（2）求△BEP周长的最小值；
（3）过A作AP的垂线交PE的延长线于点Q，在点P的运动过程中，点Q到x轴的距离是否发生变化？如果不变，请求出该距离；如果变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由折叠得到OP=PE，即可得到PE+PB=OB=4；
（2）先由勾股定理求出AB，求出BE，即可；
（3）先判断出△DAP≌△QAP，得到$\frac{AD}{DQ}$=$\frac{1}{2}$，在判断出△DAO∽△DQF，即可．

解答 （1）由折叠得OP=PE，
∴PE+PB=OP+PB=OB=4；
（2）由折叠得，AE=AO=3，EP=OP
∵△BEP周长=EP+PB+EB=OP+PB+EB=OB+EB=4+EB
要使△BEP周长最小，只要EB最小即可，
∴EB⊥PQ时，EB最小，
而AE⊥PQ，
∴点E在AB上时，EB最小．
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，EB=AB-AE=2，
∴△PEB的周长=EP+PB+EB=OB+BE=6．
（3）点Q到x轴距离不变
如图，

延长QA交x轴于点D，作QF⊥x轴于F
∵AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠DAP=90°
∵∠DPA=∠EPA，AP=AP
∴△DAP≌△QAP，
∴AD=AQ
∴$\frac{AD}{DQ}$=$\frac{1}{2}$
∵AO⊥x轴，QF⊥x轴
∴AO∥QF
∴△DAO∽△DQF
∴$\frac{AO}{QF}=\frac{DA}{DQ}$=$\frac{1}{2}$
∴QF=2AO=6
∴点Q到x轴的距离为6，

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了勾股定理的运用，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是判定△DAP≌△QAP．