题目内容
15．
如图，一次函数y=$\frac{1}{2}$x+2的图象在x、y轴上的交点为A、B，点P是该一次函数的图象上位于x轴上方的一点，作PQ⊥x轴于点Q，以PQ的右侧作正方形PQMN．（1）当点N位于y轴上时，求点P的坐标；
（2）设点P的横坐标为x，正方形PQMN的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果将（2）中所得函数的图象画在如图中平面直角坐标系中，求当点N恰好位于（2）中所画函数的图象上时，正方形PQMN的面积．
分析 （1）由点在一次函数图象上位于x轴上方的一点，设出点P的坐标，根据正方形的特点结合点N在y轴上，可得出P点的横坐标的相反数等于P点的纵坐标，由此即可得出关于m的一元一次方程，解方程急了求出m的值，将其代入点P的坐标中即可得出结论；
（2）结合（1）写出点P的坐标，并找出x的取值范围，根据正方形的面积公式即可得出y关于x的函数解析式；
（3）结合（2）的结论作出二次函数y=$\frac{1}{4}（x+4）^{2}$（x＞-4）的图象，由点P的坐标结合正方形的性质可找出点N的坐标，将点N的坐标代入二次函数解析式中得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，将其代入二次函数解析式中求出y值即可．
解答 解：（1）∵点P在一次函数y=$\frac{1}{2}$x+2的图象上位于x轴上方的一点，
∴设点P的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+2）（$\frac{1}{2}$m+2＞0）．
∵四边形PQMN为正方形，且点N位于y轴上，
∴PQ=PN，即-m=$\frac{1}{2}$m+2，
解得：m=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$×（-$\frac{4}{3}$）+2=$\frac{4}{3}$．
∴当点N位于y轴上时，点P的坐标为（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
（2）由（1）可知点P的坐标为（x，$\frac{1}{2}$x+2）（$\frac{1}{2}$x+2＞0），
PQ=$\frac{1}{2}$x+2，y=PQ2=$（\frac{1}{2}x+2）^{2}$=$\frac{1}{4}（x+4）^{2}$．
∵$\frac{1}{2}$x+2＞0，解得：x＞-4，
∴y关于x的函数关系式为y=$\frac{1}{4}（x+4）^{2}$（x＞-4）．
（3）结合（2）结论画出二次函数y=$\frac{1}{4}（x+4）^{2}$（x＞-4），如图所示．
∵点P的坐标为（x，$\frac{1}{2}$x+2），PN=PQ，
∴点N的坐标为（$\frac{3}{2}$x+2，$\frac{1}{2}$x+2）．
∵点N在二次函数y=$\frac{1}{4}（x+4）^{2}$（x＞-4）的图象上，
∴$\frac{1}{2}$x+2=$\frac{1}{4}$$（\frac{3}{2}x+2+4）^{2}$，
解得：x1=-4（舍去），x2=-$\frac{28}{9}$．
当x=-$\frac{28}{9}$时，y=$\frac{1}{4}$$（-\frac{28}{9}+4）^{2}$=$\frac{16}{81}$．
故当点N恰好位于（2）中所画函数的图象上时，正方形PQMN的面积为$\frac{16}{81}$．
点评 本题考查了一次函数的应用、二次函数的图象、正方形的性质以及一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是：（1）结合正方形的性质找出点P坐标的特征；（2）根据正方形的面积公式得出函数关系上；（3）找出点N的坐标．本题属于中档题，难度不大，解题的关键是结合正方形的性质找出点的横纵坐标之间的关系是关键．
初中暑期衔接系列答案
P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PA•PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”． 
如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），P为线段OB（不包括端点）上的一个动点，将△AOP沿AP对折，O的对称点记为E．
如图，在△ABC中，∠A=63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN=133°，则∠B的度数为70°．
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）
| A． | 4a2 | B． | 3a2 | C． | 2a2 | D． | 3 |