Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=$\sqrt{3}$，BC=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BC于点F，点P从点A出发沿射线AC以每秒2$\sqrt{3}$个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿CB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，PQ∥EF；
（2）当点P在C的左侧时，记四边形PFEQ的面积为s，请求出s关于t的函数关系式；s是否存在最大值？如有，请求出；如没有，请说明理由．
（3）设P，Q关于点C的对称点分别为P′，Q′，当t取何值时，线段P′Q′与线段EF相交？

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的性质得到$\frac{QC}{PC}=\frac{AC}{BC}$，代入数据解得t=$\frac{3}{5}$；
（2）作EH⊥AC于H，根据三角形的面积公式得到S=$\sqrt{3}$t²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{1}{2}$＜t≤1），当t≥-$\frac{3}{8}$时，s随t的增大而增大，于是得到当t=1时，S_最大=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（3）如图3，设AC与EF交于点M，易得CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，当CP′=CP≥CM，且CQ′=CQ≤CF时，线段P′Q′与线段EF相交，解不等式组即可得到结论

解答 解：（1）如图1，

∵PQ∥EF，
∴△QPC∽△ABC，
∴$\frac{QC}{PC}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{t}{2\sqrt{3}t-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{1}$，解得：t=$\frac{3}{5}$；
∴当t为$\frac{3}{5}$时，PQ∥EF；
（2）如图2，作EH⊥AC于H，

∴EH∥BC，
∵AE=BE，
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=1，
∵BF=2BE=2，
∴CF=1，
∴PH=2$\sqrt{3}$t-$\frac{1}{2}\sqrt{3}$，QF=t+1，
∴S=S_△PQF+S_△QEF=$\frac{1}{2}$QF•PC+$\frac{1}{2}$QF•CH=$\frac{1}{2}$•QF•PH=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$t-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$）（t+1）=$\sqrt{3}$t²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{1}{2}$＜t≤1），
当t≥-$\frac{3}{8}$时，s随t的增大而增大，
∵$\frac{1}{2}$＜t≤1，
∴当t=1时，S_最大=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（3）如图3，设AC与EF交于点M，易得CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，


当CP′=CP≥CM，且CQ′=CQ≤CF时，
线段P′Q′与线段EF相交，
也就是$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}t-\sqrt{3}≥\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{t≤1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{3}$≤t≤1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的最值，特殊角的三角函数，解直角三角形，正确作出图形是解题的关键．