Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AB边上的一个动点，点F在射线EC上，点H在AD边上，四边形EFGH是正方形，过G作GM⊥射线AD于M点，连接CG，DG．
（1）求证：AH=GM；
（2）设AE=x，△CDG的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1中，只要证明△HAE≌△GMH即可解决问题；
（2）分两种情形讨论①如图2中，当0＜x＜8-2$\sqrt{7}$时，点G落在矩形ABCD之内，②如图3中，当8-2$\sqrt{7}$＜x≤10时，点G落在矩形ABCD之外，分别求解即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形是矩形，GM⊥AD于点，
∴∠A=∠GMH=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=GH，∠EHG=90°，
∴∠HGM=90°-∠GHM，∠EHA=90°-∠GHM，
∴∠HGM=∠EHA，
∴△HAE≌△GMH，
∴AH=GM．

（2）如图2中，

由△EAH∽△CEB，可得$\frac{AH}{BE}$=$\frac{AE}{BC}$，
∴$\frac{AH}{10-x}$=$\frac{x}{6}$，
∴AH=$\frac{x（10-x）}{6}$，
由△EAH≌△HMG，可得HM=AE=x，
当点G落在边CD上时，$\frac{x（10-x）}{6}$+x=6
解得：x=8-2$\sqrt{7}$或8+2$\sqrt{7}$（舍弃），
①当0＜x＜8-2$\sqrt{7}$时，点G落在矩形ABCD之内，
如图2中，作GN⊥CD于N．
∴GN=DM=6-AH-MH=6-$\frac{x（10-x）}{6}$-x，
即GN=$\frac{1}{6}$（x²-16x+36），
∴S=$\frac{1}{2}$•CD•GN=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{40}{3}$x+30．
②当8-2$\sqrt{7}$＜x≤10时，点G落在矩形ABCD之外，
如图3中，作GN⊥CD于N．

∵GN=DM=AH+HM-AD=$\frac{x（10-x）}{6}$+x-6=$\frac{1}{6}$（-x²+16x-36），
∴S=$\frac{1}{2}$•CD•GN=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{40}{3}$x-30．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．