Question

14．如图，正方形ABCD中，F是CD边的中点，E是BC边上一点，且AF平分∠DAE．
（1）若AD=4，BE=3，求EF的长；
（2）求证：AE=EC+CD．

Answer 1

分析 （1）由条件可知∠C=90°，CF=2，CE=1，根据勾股定理就可以求出EF的值．
（2）作FG⊥AE于G，由AF平分∠DAE可以得出AD=AG，DF=GF，∠AGF=90°，通过证明△FGE≌△FCE，可以得出GE=CE，进而可以得出结论AE=EC+CD．

解答 （1）解：在正方形ABCD中，DC=BC=AD=4，∠C=∠D=90°，
∵F是CD边中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=2，
CE=BC-BE=1，
在Rt△EFC中，由勾股定理得EF²=EC²+CF²，
EF=$\sqrt{5}$．

（2）证明：过点F作垂线FG垂直AE与点G，∠FGA=90°，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠GAF，
在△ADF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FGA=90°}\\{∠DAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△AGF（AAS），
∴AG=AD=DC，GF=DF，
∴GF=CF，
在Rt△FGE和Rt△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{GF=CF}\\{EF=EF}\end{array}\right.$
∴△FGE≌△FCE（HL），
∴EG=EC
∴AE=GE+AE=EC+CD．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用．线段中点的定义．书写全等三角形的时候对应顶点必须写在对应位置上．