Question

8．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+5）x+k²+5k+6=0两个实数根，第三边长为5．
（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出此时△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系，用含k的代数式表示出AB，AC的和与积，利用AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC，由于第三边的长BC=5，得到关于k的方程，求出k的值；
（2）用含k的代数式表示出AB、AC，当AB=5时，求出△ABC的周长；当AC=5时，求出△ABC的周长．

解答 解：（1）∵AB、AC 的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+5）x+k²+5k+6=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+5，AB•AC=k²+5k+6，
∴AB²+AC²
=（AB+AC）²-2AB•AC
=（2k+5）²-2（k²+5k+6）
=4k²+20k+25-2k²-10k-12
=2k²+10k+13，
若△ABC是以BC=5为斜边的直角三角形，
∴AB²+AC²=5²
即2k²+10k+13=25
∴k²+5k-6=0
∴k₁=1，k₂=-6（不合题意，舍去）
即当k=1时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
（2）因为x²-（2k+5）x+k²+5k+6=0，
即（x-k-2）（x-k-3）=0
∴x₁=k+2，x₂=k+3，
若k+2=5，所以k+3=6，此时△ABC的周长=5+5+6=16，
若k+3=5，所以k+2=4，此时△ABC的周长=5+5+4=14．

点评 本题主要考查了根与系数的关系、勾股定理、一元二次方程及等腰三角形的相关知识．解决本题的关键是应用完全平方公式的变形求出AB²+AC²．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．