Question

20．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是△ABC内一点，AD=AC，∠CAD=30°，试判断BD，CD的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E，则四边形AEBC是正方形，由∠DAC=30°，得∠DAE=60°，由AD=AC，得AD=AE，所以，三角形AED是等边三角形，可得∠AED=60°，∠DEB=30°，所以，△ADC≌△EDB，可得BD=CD．

解答 解：BD=CD．理由如下：
作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E，
∵△ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，
∴四边形AEBC是正方形，
∵∠DAC=30°，
∴∠DAE=60°，
∵AD=AC，
∴AD=AE，
∴△AED是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEB=30°，
在△ADC和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=ED}\\{∠DAC=∠DEB=30°}\\{AC=EB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴CD=BD，即BD=CD．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，作辅助线构建正方形，通过证明三角形全等得出线段相等，是解答本题的基本思路．