Question

阅读下列材料：
问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置．已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A的坐标．

小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设折痕EF所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n（k＜0，n≥0），于是有E（0，n），F（-

n

k

，0），所以在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=-k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1）
请回答：
（1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标；
（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；
参考小明的做法，解决以下问题：
（3）将矩形沿直线y=-

1

2

x+n折叠，求点A的坐标；
（4）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）如图1，在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=-k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长；
（2）作OA的中垂线即可；
（3）如图，设直线y=-

1

2

x+n，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由△AEF≌△OEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，由∠EAF=90°可知∠1+∠3=90°，从而求得∠1=∠2，得出△DEA∽△GAF所以

AE

FA

=

DA

GF

，由FG=CB=6解得DA=3，从而求得A点的坐标．
（4）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围，

解答：解：（1）如图1若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标为（2

3

，6）；

（2）如图所示：
 

（3）如图，过的F作FG⊥DC于G
∵EF解析式为y=-

1

2

x+n，
∴E点的坐标为（0，n），
∴OE=n
∴F点的坐标为（2n，0），
∴OF=2n
∵△AEF与△OEF全等，
∴OE=AE=n，AF=OF=2n
∵点A在DC上，且∠EAF=90°
∴∠1+∠3=90°
又∵∠3+∠2=90°
∴∠1=∠2
在△DEA与△GAF中，

∠1=∠2 ∠ADE=∠AGF

∴△DEA∽△GAF（AA）
∴

AE

FA

=

DA

GF

∵FG=CB=6
∴

n

2n

=

DA

6

∴DA=3
∴A点的坐标为（3，6）．


（4）-1≤k≤-

1

3

．
∵矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上，（1）当E点和D点重合时，k的值为-1，（2）当F点和B点重合时，k的值为-

1

3

；

∴-1≤k≤-

1

3

．

点评：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．