Question

3．在△ABC中，∠BAC=∠BCA，BC的垂直平分线DE交AC所在直线于点E，交BC于点D，求∠CED的度数．
（1）如图1，若∠B=60°，BC的垂直平分线DE中的E恰与点A重合，此时∠CED的度数为30°；
（2）如图2，若∠B=84°，BC的垂直平分线DE交线段AC于点E，此时∠CED的度数为42°；
（3）如图3，若∠B=44°，BC的垂直平分线DE交CA的延长线于点E，此时∠CED的度数为22°；
（4）若∠B=α，无论BC的垂直平分线DE与AC的交点在哪，都有∠CED的度数为$\frac{1}{2}$α．

Answer 1

分析 根据等腰三角形两底角相等求出∠C，再根据直角三角形两锐角互余列式求解即可．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠BCA，∠B=60°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°-∠C=90°-60°=30°；

（2）∵∠BAC=∠BCA，∠B=84°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=$\frac{1}{2}$（180°-84°）=48°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°-∠C=90°-48°=42°；

（3）∵∠BAC=∠BCA，∠B=44°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=$\frac{1}{2}$（180°-44°）=68°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°-∠C=90°-68°=22°；

（4））∵∠BAC=∠BCA，∠B=α，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°-∠C=90°-$\frac{1}{2}$（180°-α）=$\frac{1}{2}$α．
故答案为：（1）30°；（2）42°；（3）22°；（4）$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，以及线段垂直平分线的定义，熟记各性质并考虑利用直角三角形求解是解题的关键．