Question

11．已知关于x的函数y=x²+2ax+2在-5≤x≤5上．
（1）当a=-1时，求函数的最大值和最小值；
（2）当a为实数时，求函数的最大值．

Answer 1

分析 （1）将a=-1代入得到抛物线的解析式，求得抛物线的对称轴和顶点坐标，根据x的范围和抛物线的对称性可确定出最大值和最小值；
（2）先利用配方法求得抛物线的对称轴和顶点的纵坐标，然后根据对称轴的位置以及抛物线的对称性确定出最大值和最小值．

解答 解：（1）当a=-1时，y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
当x=1时，有最小值y=1；当x=-5时，有最大值y=37；
（2）y=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²．抛物线的对称轴为x=-a．
①当-a≤-5即a≥5时，当x=-5时取最小值，y=27-10a，在x=5时取最大值为y=27+10a；
②当-5＜a≤0时，即0≤a≤5时，顶点处取最小值，最小值为y=2-a²，当x=5时，有最大值，最大值为y=27+10a；
③当0≤-a＜5时，即-5＜a＜0时，即-5＜a＜0，顶点处取最小值，y=2-a²，当x=-5时，有最大值为y=27-10a；
④当-a≥5即a≤-5时，当x=5时，最小值为y=27+10a，当x=-5时，最大值为y=27-10a．

点评 本题主要考查的是二次函数的最值，掌握根据对称轴所在的位置结合自变量x的范围确定出最大值和最小值是解题的关键．